Перестановки абсолютно сходящихся рядов

Если $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ - сходится абсолютно, то любая его перестановка $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{*}$ сходится абсолютно, причём $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{*}$

Так как каждое число $|a_{k}^{*}|$ является членом ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$, то справедлива оценка: $$\sum_{k=1}^{n} |a_{k}^{*}| \leq \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}|$$ Следовательно $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}^{*}$ сходится абсолютно. Введём обозначения: $$S := \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, ~~~~~ S_{n} := \sum_{k=1}^{n} a_{k}, ~~~~~ S_{n}^{*} := \sum_{k=1}^{n} a_{k}^{*}$$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится, а значит: $$\forall{ \varepsilon > 0}~~ \exists{N}\mathpunct{:}~~ |S - S_{N}| = \left| \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{k} \right| < \dfrac{\varepsilon}{2}$$ А из абсолютной сходимости: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{k}| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ Возьмём $M$ такое, что $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ из исходного ряда содержатся среди $a_{1}^{*}, a_{2}^{*}, \dots, a_{M}^{*}$. Тогда: $$\begin{align} \forall{m > M}\mathpunct{:}~~ |S - S_{m}^{*}| &= |(S - S_{N}) + (S_{N} - S_{m}^{*})| \\ &< \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align}$$ Следовательно $\lim_{n \to \infty} S_{n}^{*} = S$ и $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{*}$ $\square$